Magma topp logo Til forsiden Econa

Lars Petter Lystad er professor i entreprenørskap ved Høgskolen i Narvik. Han er siv.ing. og dr.ing. fra NTH.

Per-Ole Nyman er professor innen fagområdet «kybernetikk».

Ralph Høibakk er professor 2 innen fagområdet «innovasjon».

Riccati-likningen – en grunnlikning innen økonomi

figurfigurfigur

Sammendrag

Riccati-likningen fremstår som en grunnlikning innen økonomi ved at likningen beskriver marginalbevegelse i tid for den store majoritet av økonomiske systemer. Denne nye erkjennelsen åpner opp for bedre innsikt i og forståelse av verdiskapningsprosesser. Selve likningen er en verdilikning som kan deles i to, hvorav en del kan relateres til endringen av det løpende økonomiske resultat og en del til endringen av balansen, helt analogt økonomisk regnskap.

Riccati-likningen – en grunnlikning innen økonomi

1 Innledning


Iacopo Francesco Riccati var en italiensk greve som levde fra 1676 til 1754. Ved siden av sin privilegerte livstilværelse var han også en ivrig dyrker av filosofi og matematikk.

Iacopo Francesco Riccati ble en vesentlig bidragsyter til utviklingen av infinitesimalregningen. I denne sammenheng hadde han bred korrespondanse med de berømte matematikerne G.W. Leibniz og J. Bernoulli. Han var i tillegg ekspert på hydrauliske anlegg og ga råd om kanaler og vannverk.

Riccatis navn blir spesielt assosiert med en type differensiallikning hvor det både er lineære og kvadratiske ledd i likningen, den såkalte Riccati-likningen.


figur

(1)

Vi kan i prinsippet relatere denne likningen til tre milepæler:

  • Cirka 1700: I.F. Riccati greier som den første matematiker å løse en differensiallikning som består av både lineære og kvadratiske ledd.
  • Cirka 1950: Likningen får en matematisk renessanse etter krigen og blir spesielt assosiert med en type likninger som har stor anvendelse innen moderne styringsteori, det vil si for lineære prosesser med «kvadratisk straff» for avvik fra referansebanene.
  • Cirka 1965: Det bevises matematisk i moderne styringsteori at Riccati-likningen med tilhørende relasjoner beskriver differansen mellom to optimale baner som ligger nær hverandre.

Fra klassisk matematikk vet vi at en beskrivelse av differansen mellom to nære funksjonsverdier ved hjelp av rekkeutvikling krever at vi kjenner funksjonen.


Når det gjelder differansen mellom to optimale baner for det samme problem som ligger nær hverandre, beskrives denne generelt av Riccati-likningen uavhengig av det kriteriet som ligger til grunn for optimalisering.

Det er denne erkjennelsen som gjør at likningen opptrer som en grunnlikning innen økonomi.

Riccati-likningen er ikke bare den sentrale løsningslikningen bak det marginale økonomiske bevegelsesmønstret, likningen er også den sentrale når det gjelder vår mulighet til å få innsyn i verdiskapningsprosessene. Riccati-likningen åpner derfor også opp for større innsikt i og forståelseav verdiskapningsprosesser.

Ved årsskiftet 2006–2007 fikk master- og doktorutdanningen ved Høgskolen i Narvik besøk av den kjente professoren i matematikk A.S. Shamaev fra Universitetet i Moskva. Professoren dekket ulike matematiske områder i sine gjesteforelesninger. I en av forelesningene påpekte han fra en rent matematisk side og uavhengig av våre arbeider at Riccati-likningen må ha en grunnleggende økonomisk betydning, da den i det marginale bevegelsesmønster er nært koplet til Hamilton-funksjonen. I økonomisk sammenheng representerer Hamilton-funksjonen summen av det løpende økonomiske resultat og potensielle verdier (balansen).

Professor Shamaev påpekte videre at selve temaet har et stort forskningspotensial, da det så langt er lite behandlet i den vitenskapelige litteratur.

Vår hovedmålsetting med denne artikkel er på en populærvitenskapelig måte å gjøre følgende:

  • demonstrere at Riccati-likningen beskriver marginal økonomisk bevegelse i tid for den store majoritet av økonomiske systemer
  • gi Riccati-likningen en økonomisk tolkning som en verdilikning



Riccati-likningen er så langt lite brukt i økonomisk teori. Det første eksempelet vi kjenner til, er doktorarbeidet til Lystad (Lystad 1975), hvor det ved hjelp av likningen utføres analyser relatert til dynamiske økonomiske modeller. Ideen og mistanken om at Riccati-likningen må ha en grunnleggende økonomisk betydning, relateres tilbake til dette arbeidet. Arbeidet ble gjenopptatt i2002, med et endelig positivt resultat vinteren 2005.

Denne artikkelen vil i liten grad demonstrere bruk av avansert matematikk. For de som ønsker å fordype seg i grunnleggende likninger, henvises det til en mer matematisk beskrivelse som er lagt ut på nettet, samt originalartikkelen som denne artikkelen bygger på.

(Lystad 2006)

2 Vår modell

Som et utgangspunkt for vår analyse vil vi starte med et firma som beskrives ved følgende økonomiske variabler, som alle er en funksjon av tiden k.

figur– firmaets salg målt i antall enheter solgt per årfigur


 firmaets produksjonskapital målt i antall produksjonsenheter (maskiner)

figur

– investeringer i produksjonsutstyr per år

Vi har følgende priser i vår modell:


figur

– prisen på sluttproduktet

figur

– prisen på kapitalutstyret

Symbolet r representerer renten.

Vi setter som krav til vår modell at Riccati-likningen skal kunne løses analytisk. Som det vil bli vist, medfører dette kravet at vi for de utvalgte eksemplene får fullt numerisk samsvar mellom de beregningene som er utført ved hjelp av Riccati-likningen, og hva som er korrekt numerisk svar. Den valgte modellformen er på denne måten med på å bekrefte teoriens riktighet.

Vi antar nå at firmaets produksjon (som vi forutsetter tilsvarer firmaets salg) kan beskrives ved en 


produksjonsfunksjon som har følgende enkle form:

figur

(2)

Her er

figurogfigurpositive konstanter.

Vår målsetting vil nå være å maksimalisere summen av akkumulert kontantstrøm i en gitt tidsperiode og verdien av installert kapitalutstyr ved slutt-tidspunktet N.


Det løpende resultat, kontantstrøm

figur

, er gitt ved:

figur

(3)

Her representerer leddet


figurfirmaets inntektsside, eller mer korrekt det økonomiske bidraget før kapitalkostnaderog kostnader relatert til selve investeringen er trukket inn. figurer investeringskostnaden, og uttrykket figurrepresenterer kapitalkostnadene ved maskiner som er bundet opp i produksjonen.

Leddet

figurrepresenterer kostnader relatert til beslutningen om å investere. Erfaring viser at installasjon av nytt utstyr ofte er en aktivitet som kommer i tillegg til firmaets normale aktiviteter, og som resulterer i overproporsjonale kostnader relatert til selve investeringen. Uttrykket vil representere en første approksimasjon til kostnader som overtidskostnader, installasjonskostnader og tilsvarende.

Leddet

figurhar en naturlig økonomisk tolkning og må anses som et tapsledd. Uansett om verdien på investeringen er positiv eller negativ, vil investeringsbeslutningen medføre en engangskostnad som representerer et beskjedent økonomisk tap. Leddet medfører en større forsiktighet før en investeringsbeslutning fattes.

2.1 Eksempel 1 – konstante rammebetingelser

Vi vil i første omgang forutsette konstante rammebetingelser og søker en modell som beskriver den optimale marginale bevegelsen for investeringen


figurog kapitalen figurfra ett tidspunkt til det neste.

Marginal optimal bevegelse i tid må i denne sammenheng forstås på denne måten:

a) Bevegelsen er i diskrete trinn og på et totalt (absolutt) nivå.b) Optimaliseringen starter på nytt ved hvert nytt trinn. Dette er i samsvar med normal økonomisk handling.c) Bevegelsen starter på tidspunktet figurfra et grunn-nivå (i vårt tilfelle figuri den totale beskrivelsen). Dette grunn-nivået vil normalt være forskjellig fra null.d) Endringen fra ett nivå til det neste behøver ikke nødvendigvis være liten. Endringen vil imidlertid normalt være liten sammenliknet med grunn-nivået.

En matematisk metode som finner optimale verdier, har sitt navn fra en russisk matematiker, Lev Semenovich Pontryagin (1908–1988). Metoden benevnes normalt i økonomisk litteratur som the maximum principle.

Ved hjelp av maksimumsprinsippet beregner vi det marginale bevegelsesmønstret for tre perioder fremover:

kKJ
0 1 0.068
1 1.068 0.0219
2 1.0899 0.007
3 1.0969 0.0022


(4)

For å kunne foreta Riccati-beregningen må vi kjenne startverdiene. Dette tallparet hever også Riccati-modellen til et totalt (absolutt) nivå. Vi har:

figur

(5)

– som gir følgende resultat ved bruk av Riccati-metoden:

kKJ
0 1 0.068
1 1.068 0.0219
2 1.0899 0.007
3 1.0969 0.0022

(6)

Av tabellene (4) og (6) ser vi at når startverdiene er gitt i Riccati-modellen, er det for vårt valgte eksempel fullt numerisk samsvar mellom de to metodene når det gjelder å beskrive marginal optimal bevegelse i tid.


For utfyllende informasjon om hvordan beregningen er utført, henvises det til nettartikkelen.

2.2 Eksempel 2 – endring av rammebetingelser på grunn av teknologisk utvikling

Vi forutsetter tre prosent teknologisk vekst i en periode på ett år. Med en startverdi på

figurgir maksimumsprinsippet følgende investering ved starttidspunktet:figur

(7)

– hvilket i dette eksempelet innebærer et høyere nivå på investeringen enn i eksempelet over.

For den påfølgende perioden får vi:

figur

(8)

Vi kan videre dele denne investeringen

figur i to: en del som skyldes konstante rammebetingelser, og en del som skyldes endring i rammebetingelsene på grunn av teknologisk utvikling. Vi finner:figur

(9)


Tilsvarende kan nå gjøres via Riccati-metoden.

Vi får to Riccati-likninger: én likning som kan relateres til konstante rammebetingelser

figur, og én som kan relateres til teknologisk utvikling figur, og hvor den teknologiske utviklingen i prinsippet kommer utenfra. Riccati-metoden gir for investeringene:figur

(10)

figur

(11)

Dette er samme numeriske svar som hva vi finner ved bruk av maksimumsprinsippet.

For utfyllende informasjon om hvordan beregningen er utført, henvises det til nettartikkelen.

3 Riccati-likningen – en verdilikning

Utgangspunktet er tabell (4), hvor løsningen er basert på optimalitet. På starttidspunktet har vi:

figur

(12)


– som gir

figur. Tilhørende tabell for prosessen uten investeringer blir, – vi optimaliserer over tre perioderog optimaliseringen starter på nytt ved hvert nytt trinn:figur

(13)

Tabellen beskriver endring av kapitalen alene. Vi finner en mergevinst det første året ved å være på bane

figurkontra på bane figurgitt ved likning (3):figur

(14)

Det numeriske svaret blir:


0.00083

(15)

Hamilton-funksjonen representerer summen av det løpende økonomiske resultat og potensielleverdier (balansen). Den totale mergevinsten ved å være på bane

figurkontra på bane figurer lik endringen i Hamilton-funksjonenfigurog lik mergevinsten det første året multiplisert med antall perioder (= 3):figur

(16)

Sammenhengen mellom Hamilton-funksjonen

figurog Riccati-likningen figurer gitt ved uttrykket:

(Lystad 2006)

figur

(17)

– hvilket gir samme numeriske svar. De numeriske verdiene for

figurog figurer:figur


(18)

Antar vi at vi har en enhetsmarginal endring (

figur), ser vi av (17) at det er likhet mellom Hamilton-funksjonen figurog Riccati-likningen figur.

Riccati-likningen er derfor i prinsippet en verdilikning som med utgangspunkt i en enhetsmarginal endring på starttidspunktet

figurakkumulerer verdier ved å begynne på slutt-tidspunktet og beregne seg tilbake til starttidspunktet, helt samsvarende med økonomisk teori.

Vi analyserer nå problemstillingen i sin helhet «på regulert form», dvs. med investeringene tatt med.

 k0123
J(k)   0.068 0.0193 0  
K(k)   1 1.068 1.0873  
           
   0'1'2'
J(k')     0.0219 0.0062 0


K(k')
    1.068 1.0899 1.0961

(19)

Fra tabell (4) kjenner vi igjen verdiene:

figur

(20)

Investeringen for startåret er uthevet i tabellen. Investeringene for påfølgende år er planlagte handlinger.

Hamilton-funksjonen


figurrepresenterer den totale mergevinsten ved å starte på banen med utgangspunkt figurkontra 


banen med utgangspunkt figurnår vi er på regulert form, det vil si at vi tar med optimale investeringsbeslutninger. Vi finner:figur


(21)

Sammenhengen mellom Hamilton-funksjonen

figurog Riccati-likningen figurer gitt ved (17):figur

(22)

– som gir samme numeriske svar.

Vår modell er et klassisk økonomisk eksempel. Med utgangspunkt i dette enkle eksempelet og likning (22) har vi fått demonstrert professor Shamaevs observasjon nevnt i innledningen.

Riccati-likningen må ha en grunnleggende økonomisk betydning, da den i det marginale bevegelsesmønster er nært koplet til Hamilton-funksjonen.

Da Hamilton-funksjonen

figurrepresenter den totale mergevinst, kan vi splittefiguri to – én del som representerer endringen i det løpende resultatet figur, og én del som representerer endringen i balansen figur. Vi finner:figurfigur

(23)

4 Avslutning

Så langt har økonomiske modeller stort sett blitt skreddersydd til hver enkelt problemstilling. Økonomisk teori har i liten grad vært inne på at det kan finnes en likning som ligger bak og beskriver det hele.

Riccati-likningen fremstår som en grunnlikning i økonomien da den beskriver marginal bevegelse i tid for den store majoritet av økonomiske systemer. Likningen er videre en verdilikning som kan deles i to, hvorav én del kan relateres til endringen i det løpende resultatet, og én del til endringen i balansen, helt analogt vanlig økonomisk regnskap.

Økonomiske aktører kjennetegnes ved handlingsmønstre med en sterk grad av optimalisering. Normalt kjenner vi imidlertid ikke konkret til det absolutte kriteriet og de relasjoner som ligger bak handlingen.

Da vi imidlertid kjenner den grunnleggende likningen bak det marginale bevegelsesmønsteret, Riccati-likningen, åpner dette for større innsikt i og forståelse av verdiskapningsprosesser.

Vi kan til en viss grad sammenlikne dette med Archimedes’ lov: Riktignok har mennesker bygget båter i årtusener uten å kjenne loven, men da den kom, forklarte den oppdriften og gjorde det enklere for skipskonstruktører å modellere og å lage bedre skip. På samme måte har mennesker drevet økonomisk virksomhet i flere tusen år. Riccati-likningen vil endre vår måte å beskrive økonomisk aktivitet på, og den kan forbedre vår måte å konstruere økonomiske modeller.

Litteratur

  • Lystad, L.P. (2006). The Riccati Equation. An Economic Fundamental Equation which Describes Marginal Movement in Time. Modeling, Identification and Control, 2006, vol. 27, Nr. 1, s. 3–21.
  • Lystad, L.P. (1974). Bruk av reguleringstekniske metoder for analyse og utvikling av økonomiske modeller. Trondheim: Institutt for sosialøkonomi. PhD-thesis. s. 264. (Meddelelse nr. 28).

© Econas Informasjonsservice AS, Rosenkrantz' gate 22 Postboks 1869 Vika N-0124 OSLO
E-post: post@econa.no.  Telefon: 22 82 80 00.  Org. nr 937 747 187. ISSN 1500-0788.

RSS