Magma topp logo Til forsiden Econa

Svein-Arne Persson er førsteamanuensis på institutt for foretaksøkonomi ved Norges Handelshøyskole. Han forsker og underviser i finansiering og forsikringsøkonomi.

Finansteori og prising av pensjons- og livsforsikring

De siste tiårene har det både nasjonalt og internasjonalt skjedd en rekke endringer innenfor pensjons- og livsforsikring. De nye rammebetingelsene har ført til at kjennskap til både klassiske aktuarielle verdsettingsprinsipper og moderne finansiell prisingsteori er nødvendig for å analysere liv- og pensjonsprodukter.

* Takk til Petter Bjerksund, Iver Bragelien og Knut Aase for konstruktive kommentarer.

De viktigste endringeneer:

  • liberalisering av de legale rammebetingelser for livsforsikring
  • større fluktuasjoner i avkastning på investeringer, som i vesentlig grad skyldes mer volatile aksje- og rentemarkeder
  • utviklingavnyeproduktersliksomlivsforsikringmedinvesteringsvalg(unit-link)oginnskuddsbaserttjenestepensjon

Hensikten med denne artikkelen er å forklare prising av liv- og pensjonsprodukter ved hjelp av et prinsipp som både benytter klassiske aktuarielle metoder og er konsistent med moderne økonomisk prisingsteori. Vi tar for oss to enkle livkontrakter, oppsatt kapital- og risikoforsikring, og viser hvordan engangspremien for disse kontraktene blir under det tradisjonelle ekvivalensprinsippet som er basert risikonøytralitet. Deretter tar vi hensyn til finansiell usikkerhet og viser hvordan de tilsvarende engangspremiene blir under renterisiko. Dette medfører at markedspriser på obligasjoner inngår i uttrykkene for engangspremiene. Den samme typen argumenter kan benyttes på kontrakter med investeringsvalg (unit-link), og vi regner også ut engangspremier for oppsatt kapital- og risikoforsikring av typen unit-link. For disse kontraktene inngår markedsprisen for en bestemt type finansiell opsjon i uttrykket for engangspremien. Det faktum at markedspriser på finansielle aktiva inngår i aktuarielle prisingsformler, er nytt i forhold til klassiske aktuarielle metoder.

KOMPONENTENE I EN FORSIKRINGSPREMIE

En forsikringskontrakt avtaler en kompensasjon som utbetales dersom en bestemt hendelse inntreffer. For dette betaler kunden en forsikringspremie. I fagområdet forsikringsøkonomi er det er vanlig å si at forsikringspremien består av tre deler:

Forventet utbetaling (figur): Forventet utbetalingfigur bestemmes ved hjelp av sannsynlighetsfordelingenfigur. Dette er et rent statistisk problem som inkluderer estimering avfigur dersom denne er ukjent.Administrasjonskostnader (figur): Selskapet påtar seg administrasjonskostnader ved å utstede og administrere en forsikringspolise. Størrelsenfigur kan i prinsippet beregnes som selskapets totale administrasjonskostnader fordelt på den enkelte polise.Risikopremie (Persson004): Risikopremien for en forsikringskontrakt kan tolkes som et forsikringsselskaps forventede profitt for den aktuelle polise eller som den økonomiske kompensasjonen selskapet mottar for å bære risikoen som kontrakten spesifiserer. Risikopremien vil typisk variere fra én type forsikring til en annen og kan i teoretiske modeller beregnes ved hjelp av økonomisk teori. I praksis påvirker også konkurranseforhold i det aktuelle forsikringsmarkedet størrelsen på risikopremien.

I denne artikkelen ser vi bort fra administrative kostnader (forutsetter at

figur

).

Dersom man antar en additiv sammenheng mellom forventet framtidig utbetaling og risikopremien, kan forsikringspremienp skrives som (1)

figur

Siden risikopremien er ikke-negativ, viser dette uttrykket at forsikringspremien typisk vil være høyere en forventet utbetaling.

Det kan imidlertid vises at en risikoavers person likevel ønsker å kjøpe forsikring siden en forsikringskontrakt bidrar til å redusere den totale økonomiske usikkerheten.

Det er interessant å sammenligne en forsikring med et finansaktivum, f.eks. et aksjefond. La

figur

betegne markedsverdien av aksjefondet på tidspunkt0 og

figur

markedsverdien på et framtidig tidspunkt1. Vi antar at forventningen til

figur

er kjent, og at det er en additiv sammenheng mellom forventet framtidig markedspris og risikopremie. For en risikoavers investor som investerer i et typisk aksjefond antar man vanligvis at

figur

der

figur er den tilhørende (positive) risikopremien for aksjefondet. Både forventet verdi på tidspunkt 1 for aksjefondetfigur og forventet utbetaling av forsikringskontraktenfigur i forrige uttrykk kan tolkes som forventet økning i aktørens framtidige formue. For et aksjefond er prisen (figur) lavere enn forventet økning i sluttformuen, mens prisen på forsikring (figur) er høyere enn forventet økning i sluttformuen. Forklaringen på dette er at en risikoavers investor krever en økonomisk kompensasjon for å ta på seg usikkerheten det innebærer å kjøpe et aksjefond. En forsikringstaker derimot befinner seg i utgangspunktet i en risikabel situasjon, men ved å tegne en forsikring reduseres usikkerheten om en framtidig sluttformue.

TO ENKLE LIVSFORSIKRINGSKONTRAKTER

En livsforsikringskontrakt spesifiserer enforsikringsperiode, etforsikringsbeløp og enspesifisert hendelse (f.eks. dødsfall) som må inntreffe for at forsikringsytelsen utbetales. I tillegg avtales hvordan kunden skal betale for forsikringen. I motsetning til de fleste andre forsikringsformer, som gjerne fornyes årlig, er livsforsikringer langvarige kontrakter. Det gjør at tidsdimensjonen til kontantstrømmen blir vesentlig, og det er f.eks. riktigere å sammenligne engangspremien med forventetnåverdi av ytelsen enn kun med forventet ytelse. Videre betales en livsforsikringskontrakt vanligvis med periodiske (årlige) premier. Periodiseringen av engangspremien representerer vanligvis ikke noe problem, og vi ser kun på engangspremier i det følgende. I resten av artikkelen ser vi bare på to typer kontrakter, nemligrisikoforsikring ogoppsatt kapitalforsikring.

  • I en risikoforsikring utbetales forsikringsytelsen ved forsikringstakers død, men kun dersom denne skjer før kontraktens utløp.
  • I en oppsatt kapital utbetales ytelsen kun dersom forsikringstaker er i live ved kontraktens utløp.

En risikoforsikring er et produkt med dødsfallsrisiko, mens en oppsatt kapital er et produkt med livsfallsrisiko. Oppsatte kapitalforsikringer selges ikke separat av forsikringsselskapene, men inngår som komponenter i andre produkter. Et viktig eksempel er enpensjon som kan betraktes som en portefølje av oppsatte kapitalforsikringer med forskjellig tid til forfall.

Populære livsforsikringsprodukter inneholder gjerne én komponent med dødsfallsrisiko og én komponent med livsfallsrisiko. Det typiske eksempelet på dette ersammensatt livsforsikring, en kombinasjon av risikoforsikring og oppsatt kapitalforsikring.

Risikoforsikring og oppsatt kapitalforsikring inngår i andre forsikringer og er dermed en form for «byggeklosskontrakter». Vi diskuterer ikke kontrakter f.eks. på flere liv og poliser der utbetaling skjer ved andre hendelser enn livs- og dødsfall, f.eks. forsikring mot invaliditet. For mer kompliserte forsikringsprodukter henviser vi f.eks. til Aase (1996).

Vi skal nå se nærmere for prinsipper for beregning av engangspremiene for risikoforsikring og oppsatt kapitalforsikring.

EKVIVALENSPRINSIPPET -- PRISING UNDER RISIKONØYTRALITET

Tradisjonelt er prising av livsforsikring basert på ekvivalensprinsippet, et velkjent prisingsprinsipp fra aktuarteorien som kan spores tilbake til 1671 i en rapport skrevet av nederlenderen Jan de Witt, se f.eks. Borch (1990). Prinsippet er basert på ideen om at et forsikringsselskaps inntekter og kostnader skal balansere i det lange løp.

Videre bygger prinsippet implisitt på forutsetningen om at forsikreren er risikonøytral. Dermed blir risikopremien lik null

figur

i uttrykk 1), og ekvivalensprinsippet kan uttrykkes slik:

Forventet nå verdi av utbetalinger=Forventet nå verdi av innbetalinger

La oss anvende prinsippet på en oppsatt kapitalforsikring. Forsikringen inngås på tidspunkt 0 og betales med en engangspremie

figur. Dersom forsikringstaker er i live på tidspunktfigur

, utbetales 1 kr.

La

figur

representere (annualisert) renterate, dvs.

figur

, der

figur

er enkel årlig rente med årlig forrentning og

figur

en vilkårlig tidshorisont. La den tilfeldige variabelen

figur

representere en

figur

år gammel forsikringstakers gjenværende levetid. Engangspremien til en oppsatt kapital kan uttrykkes matematisk som

figur

,(2)

der

figur

er forventningsoperatoren. Indikatorvariabelen

figur

er en tilfeldig variabel som tar verdien 1 dersom forsikringstaker er i live ved forsikringsperiodens utløp

figur

, altså dersom

figur

. Den tar verdien 0 dersom forsikringstaker dør før forsikringsperiodens utløp, dvs. dersom

figur

Uttrykket illustrerer generelt de to viktigste kildene til risiko i pensjons- og livsforsikring,dødelighetsrisiko (her representert med

figur

) ogrenterisiko (representert ved

figur

).Detteerdeklassiskeargumenteneforrisikonøytralitet:

Med renterisiko menes usikkerheten omkring avkastningen forsikringsselskapet oppnår på sine investeringer. For få år siden garanterte forsikringsselskapene minst 4 % avkastning på inngåtte poliser (for tiden garanteres maksimum 3 % på nye poliser), mens avkastningene selskapene oppnådde tidligere var stabil på et vesentlig høyere nivå. 1 Det var tidligere derfor ikke påkrevd å ta eksplisitt hensyn til renterisiko, og renten ble modellert med en konstant.

Livsforsikringsselskapene har gode estimater for en populasjons dødelighet og dermed også sannsynlighetsfordelingen til gjenværende levetid representert ved den tilfeldige variabelen

figur

. Forsikringsselskapene kan videre redusere sin totale dødelighetsrisiko ved å øke antallet identiske og statistisk uavhengige kontrakter, slik at usikkerheten med hensyn til dødeligheten i prinsippet kan gjøres så liten man ønsker (ifølge «store talls sterke lov»). Dermed kan dødelighetsrisiko i prinsippet diversifiseres bort, og den representerer således enusystematisk risiko. Usystematisk risiko har pris lik null i økonomisk teori, og i et teoretisk rammeverk kan ikke et forsikringsselskapet forlange økonomisk kompensasjon for å akseptere dødelighetsrisikoen.

Vi antar inntil videre (i tråd med forutsetningene bak det opprinnelige ekvivalensprinsippet) atr er en konstant. Vi regner ut forventningen ovenfor:

figur

,(3) der

figur

representerer sannsynligheten 2 (som antas kjent) for at en

figur

år gammel forsikringstaker overlever de

figur

neste årene. Engangspremien er altså lik sannsynligheten for at ytelsen utbetales multiplisert med nåverdien av ytelsen.

Det tilsvarende uttrykket for engangspremien

figur

for en risikoforsikring, der ytelsen er 1 kr utbetalt ved død før tidspunkt

figur

,er

figur

,(4)

hvor

figur

representerer sannsynlighetsfordelingen for gjenværende levetid

figur

. Her kan

figur

tolkes som sannsynligheten for at forsikringstaker dør i perioden

figur

. Engangspremien kan derfor tolkes som sannsynligheten for at forsikringstaker dør rundt tidspunktt multiplisert med nåverdien av forsikringsytelsen utbetalt på tidspunkt

figur

, «summert» over alle

figur

som inngår i forsikringsperioden 3

figur

.

Som nevnt er uttrykkene (3) og (4) basert på forutsetninger om risikonøytralitet med både med hensyn til rente- og dødelighetsrisiko. Når det gjelder dødelighetsrisiko, er observert praksis ikke i tråd med teorien. Forsikringsbransjen er naturligvis opptatt av og bekymret for større avvik mellom realisert og forventet dødelighet. Av denne grunn bruker forsikringsselskapet en «loading» på estimatet for dødeligheten. Denne «loadingen» reduserer sannsynligheten for dødsfall for forsikringer med livsfallsrisiko og øker sannsynligheten for dødsfall for forsikringer med dødsfallsrisiko. I begge tilfeller blir premien større enn den skulle ha vært ut i fra den teoretiske modellen.

PRISING UNDER RENTERISIKO

De senere års volatile avkastning på investert kapital har gjort det nødvendig å ta eksplisitt hensyn til renterisiko. En framgangsmåte består i å representere renteprosessen med en komplisert stokastisk prosess og prise forsikringskontraktene ved hjelp av ekvivalensprinsippet som før (jamfør uttrykk (2) for en oppsatt kapitalforsikring). Denne framgangsmåten krever antakelser om den statistiske samvariasjonen mellom gjenværende levetid og renten. Det er imidlertid både vanlig og rimelig å anta at disse faktorene er statistisk uavhengig selv om man da f.eks. ekskluderer muligheten for dødsfall pga. et kraftig rentehopp.

Denne framgangsmåten kan imidlertid være et blindspor fordi den fremdeles baserer seg på risikonøytralitet. Så lenge forventningen til diskontert kontantstrøm benyttes som prisingsprinsipp, er det ingen risikopremie (se uttrykk (1))!

Argumentet man tidligere benyttet for risikonøytralitet med hensyn til renterisiko, var at renten var stabil. Argumentet for å modellere renten med en stokastisk prosess er at renten ikke lenger er stabil. For sammenligningens skyld kan det nevnes at argumentet for risikonøytralitet med hensyn til dødelighet er et «pooling»-argument; risikoen reduseres ved å øke antall identiske og uavhengige poliser. Renterisikoen er fundamentalt forskjellig fra dødelighetsrisiko i og med at den påvirker samtlige poliser på samme måte. Ingen av argumentene man benyttet for å forsvare risikonøytralitet med hensyn til dødelighet kan benyttes for renterisiko.

I en del nyere arbeider, f.eks. Persson (1998), er det foreslått et risikojustert prisingsprinsipp som baserer seg på innsikt fra moderne finansteori. Prinsippet baserer seg på arbitrasjeargumenter 4 og eksistensen av et velutbygd obligasjonsmarked som forsikringsselskaper kan benytte til å «hedge» renteeksponeringen. Denne tankegangen er allerede kjent innenfor forsikringslitteraturen som «immunization». Arbitrasjeargumentene er identiske med de som benyttes under utledningen av den velkjente opsjonsprisingsformelen (Black og Scholes (1973), Merton (1973)) og i moderne terminstrukturmodeller (Vasicek (1977), Heath, Jarrow, og Morton (1992)).

Vi definerer nå

figur

som renten i perioden

figur

. 5 Her er

figur

(for gitt

figur

og

figur

) en tilfeldig variabel.

Analogt med finansteori kan man konstruere nye, risikojusterte sannsynligheter for den stokastiske prosessen for renten, slik at engangspremien for en oppsatt kapital finnes som

figur

,

der

figur

betegner forventningen ved hjelp av de risikojusterte sannsynlighetene. Dette prinsippet forutsetter også risikonøytralitet med hensyn til dødelighet og uavhengighet (under det risikojusterte sannsynlighetsmålet

figur

)mellomgjenværendelevetidogrenten.Vifårdermedat

figur

.

Fra moderne finansieringsteori vet vi at markedsprisen på tidspunkt

figur

tilennullkupongsobligasjonutenkonkursrisikomedpålydende1ogforfallpåtidspunktTer

figur

.

Engangspremien til en oppsatt kapital kan derfor uttrykkes ved markedsprisen til en nullkupongsobligasjon som

figur

(5)

og kan tolkes som sannsynligheten for utbetaling 6 multiplisert medmarkedsprisen for ytelsen på utstedelsestidspunktet. Det faktum at markedspriser fra finansmarkeder inngår i aktuarielle prisingsformler, er nytt i forhold til klassiske aktuarielle metoder (se det tilsvarende klassiske uttrykket (3). Det tilsvarende uttrykket for en risikoforsikring blir

figur

.(6)

Også her erstatter markedspriser til obligasjoner den tradisjonelle diskonteringsfunksjonen sammenlignet med situasjonen med konstant rente (se uttrykk 4).

LIVSFORSIKRING MED INVESTERINGSVALG -- UNIT-LINK

Livsforsikring med investeringsvalg eller unit-link-forsikring kjennetegnes ved at kunden selv velger et fond som avkastningen av forsikringen knyttes opp mot. Fondet kan bestå av verdipapirer som aksjer, obligasjoner og sertifikater. Dermed kan forsikringstaker bestemme ønsket finansiell risikoprofil ved å velge et passende fond.

Den største forskjellen mellom unit-link-forsikring og vanlig, tradisjonell forsikring er at mens ytelsen ved tradisjonell forsikring er et fast beløp (dette kompliseres noe i praksis pga. bonuser o.l.), er forsikringsytelsen ved unit-link-forsikring et fast antall enheter (units) i et fond, og verdien av dette vil typisk variere over tid.

Som et eksempel antar vi at forsikringen knyttes opp mot et aksjefond, og at forsikringsytelsen er en enhet av aksjefondet. Under forutsetningen om at en persons gjenværende levetid er uavhengig av verdien på aksjefondet, får man da at engangspremiene på en unit-link-oppsatt kapitalforsikring og en unit-link risikoforsikring blir henholdsvis

figur

.(7)

og

figur

.(8)

Ved disse kontraktene kan

figur

tolkes som markedsbasert nåverdi av forsikringsytelsen. For begge forsikringene kan uttrykket for engangspremiene tolkes som markedsbasert nåverdi av forsikringsytelsen multiplisert med sannsynligheten for at forsikringsytelsen faktisk utbetales.

Unit-link-kontrakter kan inneholde en garanti. Garantien utstedes for å beskytte forsikringstakers oppsparte midler i selskapet, og medfører at forsikringsselskapet blir eksponert for finansiell risiko. En måte å formulere en garanti på, er å la forsikringsytelsen være maksimum av verdien av aksjefondet

figur

og et fast beløp

figur

. Dette noteres som

figur

.

Ved å bruke samme argumenter som ved prising av livsforsikring med renterisiko i forrige avsnitt kan man komme fram til et prisingsprinsipp for livsforsikring med investeringsvalg. Sammenhengen mellom kontantstrømmene til unit-link-forsikring og visse typer finansielle opsjoner var utgangspunktet for dette prisingsprinsippet (se Brennan og Schwartz (1976) eller Aase og Persson (1994)).

Det kan vises at engangspremien for en unit-link-oppsatt kapitalforsikring med garanti som beskrevet ovenfor er (renten

figur

forutsettesnåkonstant)

figur

.

På grunn av den forutsatte uavhengigheten mellom

figur

og

figur

ogsammenhengen

figur

,

kan manskrive

figur

.

Videre utregninger krever forutsetninger om prisprosessen til aksjefondet. Lesere som har kjennskap til opsjoner, vil kjenne igjen leddet

figur

som kontantstrømmen for en europeisk kjøpsopsjon med utøvelsespris

figur

på forfallsdato

figur

.

Under bestemte forutsetninger som inkluderer at

figur

erlognormaltfordelt,bliruttrykketforengangspremien

figur

,(9)

der

figur

er identisk med Black og Scholes (1973) og Merton (1973) sin velkjente formel for en kjøpsopsjon

figur

,

der

figur

,

figur

,

og

figur

er den kumulative fordeling til en standard normalfordelt tilfeldig variabel. Opsjonsprisingsformelen avhenger av markedsverdien på aksjefondet ved utstedelse

figur

, utøvelsespris

figur

, forfallsdato

figur

, risikofri rente

figur

og volatiliteten til aksjefondet

figur

. Opsjonsprisingsformelen benyttes dermed i prising av oppsatt kapital der utøvelsesprisen til opsjonen tilsvarer garantibeløpet til forsikringen. Ellers har også denne formel samme struktur som de tilsvarende kontraktene, se uttrykk (3) og (5). De samme argumentene leder til at engangspremien for en dødsrisikoforsikring med garantibeløp

figur

blir

figur

.(10)

Dette uttrykket har også samme struktur som de tilsvarende uttrykkene (4) og (6). Forskjellen består i at uttrykket for den initiale markedsverdien av ytelsen er mer komplisert.

Til slutt følger de tilsvarende uttrykkene for unit-link-forsikring der man også tar hensyn til renteusikkerhet på samme med som i avsnitt 5. Da blir premiene for en unit-link-oppsatt kapital og unit-link risikoforsikring henholdsvis

figur

,

og

figur

.

Her er

figur

markedsprisen på tidspunkt 0 for en obligasjon som forklart i avsnitt 5, og

figur

er markedsprisen på tidspunkt 0 for en europeisk kjøpsopsjon med utøvelsespris

figur

og forfallsdato

figur

i en modell med stokastisk rente. Denne formelen ble utledet av Amin og Jarrow (1992). I likhet med den tilsvarende formelen for markedsverdien til en kjøpsopsjon under konstant rente (som inngår i uttrykkene (9) og (10)) avhenger den av garantibeløpet (

figur

), tid til forfall (

figur

), volatilitet til aksjefondet (

figur

) og initial verdi av aksjefondet (

figur

). I tillegg avhenger uttrykket for

figur

av initial terminstruktur, volatiliteten til renten og samvariasjonen mellom aksjefondet og renten.

Det viktigste ved disse utledningene er kanskje ikke de spesifikke formlene de resulterer i, men snarere illustrasjonen av samspillet mellom forsikrings- og finansfaktorer. Andre typer ytelser kan prises ved samme metoder, eksempler på dette finnes i Ekern og Persson (1996).

OPPSUMMERING

Det klassiske ekvivalensprinsippet som benyttes til å prise livsforsikringskontrakter, er basert på risikonøytralitet. Liberalisering av regelverk for livsforsikring, større fluktuasjoner i avkastninger på investeringer og utvikling av nye forsikringsprodukter har ført til behov for prisingsprinsipper som eksplisitt tar hensyn til finansiell risiko. Derfor er forutsetningen om risikonøytralitet med hensyn til finansiell risiko som ligger implisitt i det klassiske ekvivalensprinsippet, urimelig. Denne artikkelen indikerer hvordan metoder som er kjent fra finanslitteraturen, kan kombineres med aktuarielle metoder til et nytt prisingsprinsipp for livsforsikring som justerer for finansiell risiko. Dette prinsippet kan også benyttes ved prising av kontrakter med investeringsvalg (unit-link).

Noter

1) Rentegarantier i liv- og pensjonsforsikring er et meget aktuelt og problematisk tema. Her kan vi f.eks. referere til Persson og Aase (1997), Grosen og Jørgensen (2000) eller Miltersen og Persson (2001).

2) Symbolet

figur

for overlevelsessannsynligheten er standard aktuariell notasjon. Denne sannsynligheten antas å avhenge både av alder til forsikringstaker ved utstedelse

figur

og tidshorisonten.

figur

3) Integralnotasjonen i uttrykket (4) er også standard aktuariell notasjon og vil bli brukt i resten av artikkelen. Dersom man antar at forsikringsperioden består av

figur

år, og at ytelsen kun utbetales ved slutten av året, kan man alternativt skrive engangspremien til en risikoforsikring som

figur

, der

figur

er sannsynligheten for død i år

figur

. Det er mulig å gjøre en tilsvarende omskriving av de tre integraluttrykkene for risikoforsikring som man vil støte på i resten av artikkelen.

4) Arbitrasjeargumenter av samme type er utgangspunktet for moderne finansieringsteori og vi refererer til standard lærebøker som Hull (2000) eller Sercu og Uppal (1995). I slike bøker forklares også terminologi somhedging ogrisikojusterte sannsynligheter.

5) Dersom

figur

er en kontinuerlig stokastisk spotrenteprosess, blir

figur

. Dersom

figur

og

figur

og den enkle renten med årlig forrentning for år 1 er gitt ved den tilfeldige variabelen

figur

og den tilsvarende renten for år 2 er gitt ved den tilfeldige variabelen

figur

, er

figur

5) Eller sannsynlighet for forfall in-the-money, for å bruke finansterminologi.

  • 1: se bunnen av artikkelen
  • 2: se bunnen av artikkelen
  • 3: se bunnen av artikkelen
  • 4: se bunnen av artikkelen
  • 5: se bunnen av artikkelen
  • Aase, K. og S.-A. Persson (1994): «Pricing of Unit-Linked Life Insurance Policies,»Scandinavian Actuarial Journal, side 26--52.
  • Aase, K.K. (1996):Anvendt sannsynlighetsteori: Forsikringsmatematikk, Cappelen Akademisk Forlag.
  • Amin, K.I. og R.A. Jarrow (1992): «Pricing Options on Risky Assets in a Stochastic Interest Rate Economy,»Mathematical Finance, 2(4): side 217--237.
  • Bacinello, A.R. og S.-A. Persson (1998): «Design and Pricing of Equity-Linked Life Insurance under Stochastic Interest Rates,» Norges Handelshøyskole, Institutt for foretaksøkonomi, Discussion paper 15/98.
  • Black F. og M. Scholes (1973): «The Pricing of Options and Corporate Liabilities,»Journal of Political Economy, 81: side 637--654.
  • Borch, K.H. (1990):Economics of Insurance, redaktører: Knut K. Aase og Agnar Sandmo, Elsevier Publisher B.V.
  • Brennan, M.J. og E. Schwartz (1976): «The Pricing of Equity-Linked Life Insurance Policies with an Asset Value Guarantee,»Journal of Financial Economics, 3: side 195--213.
  • Ekern, S. og S.-A. Persson (1996): «Exotic Unit-Linked Contracts,»The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory, 21: side 35--63.
  • Grosen, A. og P. Jørgensen (2000): «Fair Valuation of Life Insurance Liabilities: The impact of interest rate guarantees, surrender options and bonus policies,»Insurance: Mathematics and Economics, 26: side 37--57.
  • Heath, D., R. Jarrow og A.J. Morton (1992): «Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent Claims Valuation,»Econometrica, 60(1): side 77--105.
  • Hull, J.C. (2000):Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall, 4th edition.
  • Merton, R.C. (1973): «Theory of Rational Option Pricing,»Bell Journal of Economics and Management Science, 4: side 141--183.
  • Miltersen, K.R. og S.-A. Persson (2001): «Guaranteed Investment Contracts: Distributed and Undistributed Excess Return,» Norges Handelshøyskole, Institutt for foretaksøkonomi, Discussion paper 16/98.
  • Persson, S.-A. (1998): «Stochastic Interest Rate in Life Insurance: The Principles of Equivalence Revisited,»Scandinavian Actuarial Journal, side 97--112.
  • Persson, S.-A. og K. Aase (1997):Valuation of the Minimum Guaranteed Return embedded in Life Insurance Contracts, Journal of Risk and Insurance, 64(4), side 519-617.
  • Sercu, P. og R. Uppal (1995):International Financial Markets and the Firm, International Thompson Publishing.
  • Vasicek , O. (1977):An Equilibrium Characterization of the Term Structure, Journal of Financial Economics, 5, side 177-188.

© Econas Informasjonsservice AS, Rosenkrantz' gate 22 Postboks 1869 Vika N-0124 OSLO
E-post: post@econa.no.  Telefon: 22 82 80 00.  Org. nr 937 747 187. ISSN 1500-0788.

RSS